Giả thuyết Birch và Swinnerton

Giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer quan tâm đến một số loại phương trình, cụ thể là những phương trình định nghĩa lên đường cong elliptic trên trường số hữu tỉ. Giả thuyết nói rằng có một cách đơn giản để xác định xem phương trình đó có hữu hạn hay vô hạn nghiệm hữu tỉ. Bài toán thứ mười của Hilbert quan tâm đến những loại phương trình tổng quát hơn, và trong trường hợp tổng quát đó thì người ta đã chứng minh được rằng không có bất kì cách nào để xác định xem với phương trình được cho thì nó có nghiệm hay không.

Andrew Wiles là người đã đưa ra mệnh đề chính thức cho bài toán.

Giả thuyết Hodge

Bài toán Navier-Stokes

∂ u ∂ t ⏟ Gia tốc tức thời + ( u ⋅ ∇ ) u ⏟ Gia tốc đối lưu ⏞ Quán tính − ν ∇ 2 u ⏟ Độ nhớt = − ∇ w ⏟ Nội lực + g ⏟ Ngoại lực . {\displaystyle \overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Gia tốc}}\\{\text{tức thời}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Gia tốc}}\\{\text{đối lưu}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Quán tính}}-\underbrace {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Độ nhớt}}=\underbrace {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Nội lực}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Ngoại lực}}\end{smallmatrix}}.}

Phương trình Navier-Stokes là phương trình giúp ta mô tả chuyển động của chất lưu, là một trong những công cụ trụ cột trong cơ học chất lưu, có ảnh hưởng rất lớn đến với khoa học kỹ thuật trong thực tiễn. Tuy nhiên về mặt lý thuyết thì những hiểu biết của ta đối với nghiệm của phương trình này là chưa hoàn thiện. Cụ thể, đặt phương trình trong không gian 3 chiều và cho hệ một số điều kiện ban đầu, các nhà toán học đến nay vẫn chưa chứng minh được liệu hệ có luôn tồn tại nghiệm trơn hay không.

Phát biểu chính thức cho bài toán được đặt ra bởi Charles Fefferman.

P so với NP

Biểu đồ Euler cho lớp các bài toán P, NP, NP-complete và NP-hard.

Câu hỏi được đặt ra rằng liệu đúng hay không, với mọi bài toán kèm theo thuật toán có thể kiểm tra tính đúng đắn của nghiệm bài toán đó một cách nhanh chóng (tức trong thời gian đa thức) thì cũng sẽ tồn tại một thuật toán có thể tìm ra nghiệm của bài toán một cách nhanh chóng. Lớp các bài toán ở vế đầu và vế sau được đặt lần lượt là NP và P, nên ta có thể phát biểu bài toán một cách ngắn gọn hơn đó là liệu có phải mọi bài toán thuộc lớp NP cũng đều thuộc lớp P không. Đây được coi là một trong những câu hỏi mở quan trọng nhất trong toán học và khoa học máy tính vì nó ảnh hưởng trực tiếp đến nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác như sinh học, triết học và mật mã. Bài toán SAT là một ví dụ điển hình cho bài toán thuộc lớp NP nhưng vẫn chưa biết liệu nó có thuộc lớp P hay không.

Hầu hết các nhà toán học và nhà khoa học máy tính tin rằng P ≠ NP. Tuy nhiên điều này vẫn chưa được chứng minh.

Stephen Cook là người đã đưa ra mệnh đề chính thức cho bài toán này.

Giả thuyết Riemann

Phần thực (màu đỏ) và phần ảo (màu xanh) của hàm zeta Riemann kèm với đường tới hạn Re(s) = 1/2. Nghiệm không tầm thường đầu tiên zeros có thể thấy tại điểm Im(s) = ±14.135, ±21.022 và ±25.011.

Hàm zeta Riemann ζ(s) được xác định bởi

ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s = 1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + ⋯ {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }

là hàm biến phức một biến. Thác triển giải tích của nó có nghiệm tại các số nguyên âm chẵn, nói cách khác thì ζ(s) = 0 khi s bằng -2, -4, -6,.... Những nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường. Tuy nhiên đấy không phải là toàn bộ nghiệm của hàm zeta, những nghiệm khác được gọi là nghiệm không tầm thường. Giả thuyết Riemann quan tâm đến vị trí của những nghiệm không tầm thường này, cụ thể giả thuyết nói rằng:

Mọi nghiệm không tầm thường của hàm zeta Riemann đều có phần thực là 1/2.

Bất kì chứng minh nào về tính đúng sai của giả thuyết cũng đều sẽ ảnh hưởng sâu sắc đến lý thuyết số, đặc biệt là về sự phân phối của số nguyên tố. Đây là bài toán thứ tám của Hilbert, và đến nay nó vẫn được coi là bài toán mở quan trọng nhất của thế kỷ.

Enrico Bombieri là người đã đưa ra mệnh đề chính thức cho bài toán này.